Милан Гайич родился 28 января 1996 года в Вуковаре (Хорватия). Семья переехала в Панчево (Сербия), где в шесть лет начал заниматься футболом. Дебютировал в сербской Суперлиге за ОФК в 2013 году против «Вождоваца» (1:0). Изначально играл в центре поля и нападении, затем переведен на правый фланг защиты. За два сезона провел 52 матча, забил 5 голов. По итогам 2014 года признан лучшим игроком команды.
В 2015 году перешел в «Бордо», провел 40 матчей, забил 1 гол. В 2019 году расторг контракт и присоединился к «Црвене Звезде» как свободный агент. За клуб сыграл 120 матчей, забил 6 голов, отдал 25 результативных передач. Стал четырехкратным чемпионом Сербии и двукратным обладателем Кубка Сербии.
Летом 2022 года перешел в ЦСКА. Дебютировал в РПЛ против «Урала» (2:0). За два сезона пропустил 5 матчей. В 2025 году выиграл Кубок России и Суперкубок России. Контракт с ЦСКА продлен 24 июня 2025 года.
Выступал за молодежные сборные Сербии с 2013 года, в 2015 году стал чемпионом мира U20. Дебют за основную сборную — 24 марта 2021 года против Северной Ирландии.
Стиль игры
Правый защитник и полузащитник. Подключается к атакам, выполняет точные передачи. Может играть на краю обороны и в опорной зоне.