Евгений Морозов — воспитанник московского «Локомотива». Первый профессиональный опыт получил в «Локомотиве-Казанка». В 2022 году выступал в аренде за «Волгарь» в ФНЛ, проведя 10 матчей и забив 2 гола.
27 мая 2022 года перешёл в аренду в «Факел», где дебютировал в Российской Премьер-Лиге 12 августа 2022 года против «Урала». За «Факел» провёл 30 матчей и забил 2 гола. За основной состав «Локомотива» дебютировал 22 июля 2023 года в матче против «Рубина». В сезоне 2025/2026 сыграл 10 матчей в Премьер-Лиге.
Стиль игры
Центральный защитник, играет позиционно, участвует в стандартных положениях.