Константин Кучаев начал футбольный путь в академиях «Мастер-Сатурн» и ЦСКА. За основную команду ПФК ЦСКА провел 153 игры, отметившись 11 голами и 15 голевыми передачами. В 2017 году забил гол в ворота «Манчестер Юнайтед» в Лиге чемпионов. Является обладателем Кубка России и трехкратным серебряным призером чемпионата России.
В 2022 году выступал за «Рубин» на правах аренды. По итогам сезона 2022/23 завоевал серебро с ЦСКА. В настоящее время является полузащитником клуба «Ростов» в Российской Премьер-Лиге.
Стиль игры
Универсальный полузащитник, выступает в центре, на флангах, под нападающими и опорником.