Элдар Чивич родился 28 мая 1996 года в Тузле, Босния и Герцеговина. Воспитанник клубов «Слобода» и «Словацко». Дебютировал в чемпионате Чехии за «Словацко» 14 марта 2015 года в матче против «Пршибрам». Забил первый гол за клуб 2 апреля 2016 года против «Спарты».
Летом 2017 года перешел в «Спарту» Прага. Дебютировал за основной состав 27 июля 2017 года в квалификации Лиги Европы против «Црвена Звезды». В начале 2018 года арендован «Спартаком» Трнава. Летом 2019 года перешел в «Ференцварош», дебютировал 25 августа 2019 года против «Академии Пушкаша». Дебютировал в Лиге чемпионов 20 октября 2020 года против «Барселоны». Продлил контракт в марте 2022 года до июня 2025 года.
После окончания контракта в июне 2025 года перешел в «Балтику». Дебютировал в Российской Премьер-Лиге 18 июля 2025 года против «Динамо» Москва. За сборную Боснии и Герцеговины дебютировал 1 июня 2018 года против Южной Кореи. Забил первый гол за сборную 18 ноября 2019 года против Лихтенштейна.